جواب کاردرکلاس صفحه 57 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 57 ریاضی دوازدهم برای محاسبه این حدود (از نوع $\frac{k}{0}$)، ابتدا علامت صورت و سپس علامت مخرج را در نقطه مورد نظر تعیین می‌کنیم. *** ### الف) $\lim_{x \to 5^-} \frac{2x}{x - 5}$ 1. **صورت:** $2x \to 2(5) = 10$. (مثبت) 2. **مخرج:** $x - 5$. وقتی $x \to 5^-$ (مثلاً $4.9$)، $x - 5$ یک عدد منفی بسیار کوچک است: $0^-$. $$\lim_{x \to 5^-} \frac{2x}{x - 5} = \frac{10}{0^-} = \mathbf{-\infty}$$ *** ### ب) $\lim_{x \to 5^+} \frac{2x}{x - 5}$ 1. **صورت:** $2x \to 2(5) = 10$. (مثبت) 2. **مخرج:** $x - 5$. وقتی $x \to 5^+$ (مثلاً $5.1$)، $x - 5$ یک عدد مثبت بسیار کوچک است: $0^+$. $$\lim_{x \to 5^+} \frac{2x}{x - 5} = \frac{10}{0^+} = \mathbf{+\infty}$$ *** ### پ) $\lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{x^3}$ 1. **صورت:** $-1$. (منفی) 2. **مخرج:** $x^3$. وقتی $x \to 0^-$، $x$ منفی است و توان فرد، پس $x^3$ یک عدد منفی بسیار کوچک است: $0^-$. $$\lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{x^3} = \frac{-1}{0^-} = \mathbf{+\infty}$$ *** ### ت) $\lim_{x \to 3} \frac{2}{|x - 3|}$ 1. **صورت:** $2$. (مثبت) 2. **مخرج:** $|x - 3|$. این عبارت همواره مثبت یا صفر است. وقتی $x \to 3$ (چه از چپ و چه از راست)، $|x - 3|$ یک عدد مثبت بسیار کوچک است: $0^+$. $$\lim_{x \to 3} \frac{2}{|x - 3|} = \frac{2}{0^+} = \mathbf{+\infty}$$ *** ### ث) $\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} \frac{[x]}{|3x + 1|}$ 1. **صورت:** $[x]$. وقتی $x \to -\frac{1}{3}^-$ (از چپ، مثلاً $-0.34$)، $\mathbf{[x] = -1}$. (منفی) 2. **مخرج:** $|3x + 1|$. وقتی $x \to -\frac{1}{3}$، مخرج به صفر میل می‌کند. چون قدر مطلق است، همواره مثبت است: $0^+$. $$\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} \frac{[x]}{|3x + 1|} = \frac{-1}{0^+} = \mathbf{-\infty}$$ *** ### ج) $\lim_{x \to 0^+} \frac{x + 1}{\sin^2 x}$ 1. **صورت:** $x + 1 \to 0 + 1 = 1$. (مثبت) 2. **مخرج:** $\sin^2 x = (\sin x)^2$. وقتی $x \to 0^+$, $\sin x$ مثبت است. چون به توان ۲ رسیده، یک عدد مثبت بسیار کوچک است: $0^+$. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x + 1}{\sin^2 x} = \frac{1}{0^+} = \mathbf{+\infty}$$

حل تمرین 2 صفحه 57 ریاضی دوازدهم تابع $f(x)$ مورد نظر باید در $x = -2$ دارای یک **مجانب قائم** باشد که در دو طرف آن، رفتار حدی متفاوتی را نشان دهد (جهش از $+\infty$ به $-\infty$). ### 1. تحلیل شرایط 1. **حد چپ:** $\lim_{x \to (-2)^-} f(x) = +\infty$ (وقتی $x$ از چپ به $-2$ نزدیک می‌شود، نمودار به سمت بالای محور $y$ می‌رود.) 2. **حد راست:** $\lim_{x \to (-2)^+} f(x) = -\infty$ (وقتی $x$ از راست به $-2$ نزدیک می‌شود، نمودار به سمت پایین محور $y$ می‌رود.) ### 2. ضابطه پیشنهادی یک تابع کسری که در $x = -2$ ریشه در مخرج دارد، این ویژگی را دارد. برای تغییر علامت در دو طرف، باید توان مخرج فرد باشد: $$\mathbf{f(x) = \frac{1}{x + 2}}$$ **بررسی ضابطه پیشنهادی:** * **حد چپ:** $x \to -2^- \implies x + 2 \to 0^-$. $\lim_{x \to (-2)^-} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{0^-} = -\infty$. (شرط را برآورده **نمی‌کند**.) **اصلاح ضابطه (ضرب در یک عامل منفی):** $$\mathbf{f(x) = \frac{-1}{x + 2}}$$ **بررسی ضابطه اصلاح شده:** * **حد چپ:** $x \to -2^- \implies x + 2 \to 0^-$. $\lim_{x \to (-2)^-} \frac{-1}{x + 2} = \frac{-1}{0^-} = \mathbf{+\infty}$ (شرط اول برقرار است.) * **حد راست:** $x \to -2^+ \implies x + 2 \to 0^+$. $\lim_{x \to (-2)^+} \frac{-1}{x + 2} = \frac{-1}{0^+} = \mathbf{-\infty}$ (شرط دوم برقرار است.) ### 3. رسم نمودار نمودار $f(x) = \frac{-1}{x + 2}$ نمودار $y = \frac{-1}{x}$ است که ۲ واحد به چپ منتقل شده است. این نمودار دارای مجانب قائم $x = -2$ و مجانب افقی $y = 0$ است. در سمت چپ $x=-2$ به بالا می‌رود و در سمت راست $x=-2$ به پایین می‌رود. (مقایسه پاسخ با جواب دوستان باید شامل بررسی توابعی با مخرج $(x+2)$ و ضرایب مختلف در صورت باشد.)